حل فعالیت صفحه 72 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 72 ریاضی دهم - بخش ۱ این فعالیت ساده‌ترین شکل حل معادلات درجه دوم، یعنی معادلات به فرم $x^2 = a$، را با استفاده از روش **تجزیه** بررسی می‌کند. ### **حل معادله $\mathbf{x^2 = 25}$ به روش تجزیه** **گام ۱: استانداردسازی** ابتدا معادله را به فرم استاندارد $\mathbf{ax^2 + bx + c = 0}$ می‌آوریم: $$x^2 - 25 = 0$$ **گام ۲: تجزیه با اتحاد مزدوج** عبارت سمت چپ به صورت تفاضل مربع‌ها ($$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$) تجزیه می‌شود: $$x^2 - 5^2 = 0$$ $$\mathbf{(x - 5)(x + 5) = 0}$$ **گام ۳: استفاده از ویژگی حاصل‌ضرب صفر** هر یک از عوامل را برابر صفر قرار می‌دهیم: 1. $$x - 5 = 0 \Rightarrow \mathbf{x_1 = 5}$$ 2. $$x + 5 = 0 \Rightarrow \mathbf{x_2 = -5}$$ **جواب‌های معادله:** $\mathbf{x = 5}$ و $\mathbf{x = -5}$.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 72 ریاضی دهم - بخش ۲ این بخش، ارتباط بین **مفهوم ریشه‌ی دوم** و **حل معادله درجه دوم** را روشن می‌کند. ### **۱. ریشه‌های دوم عدد ۲۵** ریشه‌های دوم (جذرهای) عدد $25$ اعدادی هستند که اگر به توان $2$ برسند، حاصل $25$ شود: $$\text{ریشه‌های دوم } 25 \text{ عبارتند از } \mathbf{5} \text{ و } \mathbf{-5}$$ ### **۲. مقایسه** در بخش ۱ دیدیم که جواب‌های معادله‌ی $x^2 = 25$ عبارتند از $\mathbf{x = 5}$ و $\mathbf{x = -5}$ (با روش تجزیه). **نتیجه‌ی مقایسه:** **جواب‌های معادله‌ی $\mathbf{x^2 = 25}$ دقیقاً همان ریشه‌های دوم عدد $\mathbf{25}$ هستند.** این مقایسه روش سریع‌تر حل این نوع معادلات را توجیه می‌کند: می‌توانیم از دو طرف ریشه بگیریم و جواب را به صورت $x = \pm \sqrt{a}$ بنویسیم.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 72 ریاضی دهم - بخش ۳ **پاسخ:** \mathbf{خیر، همیشه نمی‌توان نوشت.} این تساوی تنها به یک شرط مهم برقرار است و در غیر این صورت، معادله جواب حقیقی ندارد. ### **توضیح محدودیت** معادله‌ی $\mathbf{x^2 = a}$ از ما می‌خواهد عددی حقیقی ($x$) پیدا کنیم که مربع آن برابر $a$ باشد. 1. **حالت عدم برقراری (شرط نقض):** * **اگر $\mathbf{a < 0}$ (منفی) باشد:** این تساوی برقرار نیست. * \mathbf{دلیل:} مربع هر عدد حقیقی ($x^2$) همواره **نامنفی** ($\ge 0$) است و هرگز نمی‌تواند برابر یک عدد منفی باشد. از نظر ریاضی، $\mathbf{\sqrt{a}}$ برای $a < 0$ در مجموعه \mathbf{اعداد حقیقی} تعریف نشده است. * **مثال نقض:** معادله‌ی $\mathbf{x^2 = -9}$ ریشه‌ی حقیقی ندارد، اگرچه ممکن است کسی بخواهد بنویسد $x = \pm \sqrt{-9}$. 2. **حالت برقراری (شرط پذیرش):** * تساوی $\mathbf{x = \pm \sqrt{a}}$ تنها زمانی جواب‌های حقیقی معادله را نشان می‌دهد که \mathbf{عدد $\mathbf{a}$ نامنفی باشد} ($athbf{a \ge 0}$).